Loi de réciprocité quadratique : Différence entre versions

De AgregmathKL
Aller à : navigation, rechercher
(ajout d'une version de la démonstration)
 
(3 révisions intermédiaires par 2 utilisateurs non affichées)
Ligne 1 : Ligne 1 :
 +
Incontournable de l'arithmétique, la loi de réciprocité quadratique permet de calculer rapidement des symboles de Legendre faisant intervenir des nombres premiers impairs. Elle a de nombreuses preuves différentes, dont au moins 8 par Gauss lui-même.
 +
 
== Loi de réciprocité quadratique version 1 ==
 
== Loi de réciprocité quadratique version 1 ==
  
Ligne 14 : Ligne 16 :
 
*[[152 -- Déterminant. Exemples et applications.]]
 
*[[152 -- Déterminant. Exemples et applications.]]
  
[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link=Média:Reciprocite_quadratique.tex|24px]],[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=Média:Reciprocite_quadratique.pdf|24px]]
+
[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link={{filepath:Reciprocite_quadratique.tex}}|24px]],[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:Reciprocite_quadratique.pdf}}|24px]]
  
 
== Loi de réciprocité quadratique version 2 ==
 
== Loi de réciprocité quadratique version 2 ==
Ligne 22 : Ligne 24 :
 
* [[101 -- Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.]]
 
* [[101 -- Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.]]
 
* [[103 -- Exemples et applications des notions de sous-groupe distingué et de groupe quotient.]]
 
* [[103 -- Exemples et applications des notions de sous-groupe distingué et de groupe quotient.]]
* [[104 -- Groupes finis. Exemples et applications.]]
+
* [[104 -- Groupes abéliens et non abéliens finis. Exemples et applications.]]
 
* [[120 -- Anneaux Z/nZ. Applications.]]
 
* [[120 -- Anneaux Z/nZ. Applications.]]
 
* [[121 -- Nombres premiers. Applications.]]
 
* [[121 -- Nombres premiers. Applications.]]
Ligne 30 : Ligne 32 :
 
* [[190 -- Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.]]
 
* [[190 -- Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.]]
  
[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=Média:Récip_quad.pdf|24px]]
+
[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:Récip_quad.pdf}}|24px]]
  
 +
== Loi de réciprocité quadratique version 3 ==
 +
 +
Cette approche cyclotomique fait partie de celles recommandées par Lionel Fourquaux car elle se généralise plus facilement. Elle est plus technique qu'élégante. On trouve cette preuve dans le ''Cours d'algèbre'' de Demazure.
 +
 +
Recasage :
 +
 +
* [[120 -- Anneaux Z/nZ. Applications.]]
 +
* [[121 -- Nombres premiers. Applications.]]
 +
* [[123 -- Corps finis. Applications.]]
 +
* [[126 -- Exemples d'équations diophantiennes.]]
 +
* [[144 -- Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Localisation des racines dans les cas réel et complexe.]]
  
 +
[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:Loi de reciprocite quadratique.pdf}}|24px]]
  
 
[[Category: Développement de la leçon 101]]
 
[[Category: Développement de la leçon 101]]

Version actuelle en date du 17 janvier 2021 à 14:34

Incontournable de l'arithmétique, la loi de réciprocité quadratique permet de calculer rapidement des symboles de Legendre faisant intervenir des nombres premiers impairs. Elle a de nombreuses preuves différentes, dont au moins 8 par Gauss lui-même.

Loi de réciprocité quadratique version 1

On démontre ici la loi de réciprocité quadratique en utilisant des résultants et des polynômes de Laurent (fractions rationnelles dont le seul pôle est 0). La référence utilisée est ce pdf : [1].

Recasage :

Tex,Pdf

Loi de réciprocité quadratique version 2

Recasage :

Pdf

Loi de réciprocité quadratique version 3

Cette approche cyclotomique fait partie de celles recommandées par Lionel Fourquaux car elle se généralise plus facilement. Elle est plus technique qu'élégante. On trouve cette preuve dans le Cours d'algèbre de Demazure.

Recasage :

Pdf