Exos classiques et autres démonstrations
Sommaire
[masquer]- 1 Algèbre
- 1.1 Calcul des projecteurs sur les sous-espaces caractéristiques d'un endomorphisme
- 1.2 Calculer l'exponentielle d'une matrice diagonalisable sans calculer la matrice de passage
- 1.3 Expression d'un polynôme symétrique en fonction des polynômes symétriques élémentaires
- 1.4 Le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique
- 1.5 Méthode de Gauss pour les formes quadratiques
- 1.6 Pseudo-réduction simultanée
- 1.7 Racine carrée d'une matrice symétrique réelle positive
- 1.8 Une famille d'endomorphismes diagonalisables qui commutent est codiagonalisable
- 2 Analyse
- 2.1 Ind est une fonction à valeurs entières, constante sur chaque composante connexe
- 2.2 L'espace de Schwartz sur est stable par transformée de Fourier
- 2.3 Lemme de Baire
- 2.4 Lemme de Riemann-Lebesgue
- 2.5 Limite uniforme de polynômes
- 2.6 Théorème d'Ascoli
- 2.7 Théorème d'inversion locale
- 2.8 Théorème de Cauchy-Peano
- 2.9 Théorème de représentation de Riesz
- 2.10 Théorème des fonctions implicites
Algèbre
Calcul des projecteurs sur les sous-espaces caractéristiques d'un endomorphisme
On donne ici une méthode pour calculer les projecteurs sur les sous-espaces caractéristiques d'un endomorphismes, ainsi qu'une application au calcul de l'exponentielle matricielle par la décomposition de Dunford.
Calculer l'exponentielle d'une matrice diagonalisable sans calculer la matrice de passage
Soit .
soit
telle que
.
Soit un polynôme tel que
pour tout
.
Alors !
Ref : perso.univ-rennes1.fr/tristan.vaccon/exponentielle_de_matrices.pdf
Expression d'un polynôme symétrique en fonction des polynômes symétriques élémentaires
Le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique
Méthode de Gauss pour les formes quadratiques
Pseudo-réduction simultanée
Racine carrée d'une matrice symétrique réelle positive
Une famille d'endomorphismes diagonalisables qui commutent est codiagonalisable
Analyse
Ind
est une fonction à valeurs entières, constante sur chaque composante connexe
L'espace de Schwartz sur
est stable par transformée de Fourier
Lemme de Baire
Lemme de Riemann-Lebesgue
Limite uniforme de polynômes
Montrons que si une fonction est limite uniforme d'une suite de polynômes
, alors
est un polynôme.
est une suite de Cauchy donc il existe
tel que pour tout
. Or
est un polynôme borné, donc est constant, on a
. Or
converge vers
donc
converge vers une constante
. D'où
est un polynôme.
Référence : Xavier Gourdon, Analyse, Ellipses, 1994, p.228.
Théorème d'Ascoli
Théorème d'inversion locale
Théorème de Cauchy-Peano
On prouve ici le théorème de Cauchy-Peano en utilisant le théorème de point fixe de Schauder et le théorème d'Ascoli.