Loi de réciprocité quadratique

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Incontournable de l'arithmétique, la loi de réciprocité quadratique permet de calculer rapidement des symboles de Legendre faisant intervenir des nombres premiers impairs. Elle a de nombreuses preuves différentes, dont au moins 8 par Gauss lui-même.

Loi de réciprocité quadratique version 1

On démontre ici la loi de réciprocité quadratique en utilisant des résultants et des polynômes de Laurent (fractions rationnelles dont le seul pôle est 0). La référence utilisée est ce pdf : [1].

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Loi de réciprocité quadratique version 2

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Loi de réciprocité quadratique version 3

Cette approche cyclotomique fait partie de celles recommandées par Lionel Fourquaux car elle se généralise plus facilement. Elle est plus technique qu'élégante. On trouve cette preuve dans le Cours d'algèbre de Demazure.

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