Version du 10 avril 2014 à 12:45

Sommaire

1 Algèbre
2 Analyse

Algèbre

Calcul des projecteurs sur les sous-espaces caractéristiques d'un endomorphisme

On donne ici une méthode pour calculer les projecteurs sur les sous-espaces caractéristiques d'un endomorphismes, ainsi qu'une application au calcul de l'exponentielle matricielle par la décomposition de Dunford.

Calculer l'exponentielle d'une matrice diagonalisable sans calculer la matrice de passage

Soit $A\in {\mathcal {M}}_{n}({\mathbb {C}})$ . soit $D=diag(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})$ telle que $A=Q^{{-1}}DQ$ .

Soit $P$ un polynôme tel que $P(\lambda _{i})=e^{{\lambda _{i}}}$ pour tout $i$ .

Alors $P(A)=P(Q^{{-1}}DQ)=Q^{{-1}}P(D)Q=Q^{{-1}}\exp(D)Q=\exp(A)$ !

Ref : perso.univ-rennes1.fr/tristan.vaccon/exponentielle_de_matrices.pdf‎

Expression d'un polynôme symétrique en fonction des polynômes symétriques élémentaires

Le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique

Méthode de Gauss pour les formes quadratiques

Pseudo-réduction simultanée

Racine carrée d'une matrice symétrique réelle positive

Une famille d'endomorphismes diagonalisables qui commutent est codiagonalisable

Analyse

Ind $_{\gamma }$ est une fonction à valeurs entières, constante sur chaque composante connexe

L'espace de Schwartz sur ${\mathbb R}$ est stable par transformée de Fourier

Lemme de Baire

Lemme de Riemann-Lebesgue

Limite uniforme de polynômes

Montrons que si une fonction $f$ est limite uniforme d'une suite de polynômes $(P_{n})_{{n\in {\mathbb N}}}$ , alors $f$ est un polynôme.

$(P_{n})_{{n\in {\mathbb N}}}$ est une suite de Cauchy donc il existe $N\in {\mathbb N}$ tel que pour tout $n\geq N,\|P_{n}-P_{N}\|_{\infty }<1$ . Or $P_{n}-P_{N}$ est un polynôme borné, donc est constant, on a $P_{n}-P_{N}=c_{n}\in {\mathbb C}$ . Or $P_{n}-P_{N}$ converge vers $f-P_{N}$ donc $(c_{n})_{{n\in {\mathbb N}}}$ converge vers une constante $c=f-P_{N}$ . D'où $f=P_{N}+c$ est un polynôme.

Référence : Xavier Gourdon, ${\emph {Analyse}}$ , Ellipses, 1994, p.228.

Théorème de Cauchy-Peano

On prouve ici le théorème de Cauchy-Peano en utilisant le théorème de point fixe de Schauder et le théorème d'Ascoli.

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+== L'espace de Schwartz sur <math>\mathbb R</math> est stable par transformée de Fourier ==
+[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=Média:Schwartzstable.pdf|24px]]
+[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link=Média:Schwartzstable.tex|24px]]
 == Lemme de Baire ==
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-== L'espace de Schwartz sur <math>\mathbb R</math> est stable par transformée de Fourier ==
+== Limite uniforme de polynômes ==
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+Montrons que si une fonction <math>f</math> est limite uniforme d'une suite de polynômes <math>(P_n)_{n\in\mathbb N}</math>, alors <math>f</math> est un polynôme.
-[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link=Média:Schwartzstable.tex|24px]]
+<math>(P_n)_{n\in\mathbb N}</math> est une suite de Cauchy donc il existe <math>N\in\mathbb N</math> tel que pour tout <math>n\ge N,\|P_n-P_N\|_\infty<1</math>. Or <math>P_n-P_N</math> est un polynôme borné, donc est constant, on a <math>P_n-P_N=c_n\in\mathbb C</math>. Or <math>P_n-P_N</math> converge vers <math>f-P_N</math> donc <math>(c_n)_{n\in\mathbb N}</math> converge vers une constante <math>c=f-P_N</math>. D'où <math>f=P_N+c</math> est un polynôme.
+Référence : Xavier Gourdon, <math>\emph{Analyse}</math>, Ellipses, 1994, p.228.
 == Théorème de Cauchy-Peano ==

Exos classiques et autres démonstrations : Différence entre versions

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Calcul des projecteurs sur les sous-espaces caractéristiques d'un endomorphisme

Calculer l'exponentielle d'une matrice diagonalisable sans calculer la matrice de passage

Expression d'un polynôme symétrique en fonction des polynômes symétriques élémentaires

Le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique

Méthode de Gauss pour les formes quadratiques

Pseudo-réduction simultanée

Racine carrée d'une matrice symétrique réelle positive

Une famille d'endomorphismes diagonalisables qui commutent est codiagonalisable

Analyse

Ind $_{\gamma }$ est une fonction à valeurs entières, constante sur chaque composante connexe

L'espace de Schwartz sur ${\mathbb R}$ est stable par transformée de Fourier

Lemme de Baire

Lemme de Riemann-Lebesgue

Limite uniforme de polynômes

Théorème de Cauchy-Peano

Théorème d'inversion locale

Théorème de représentation de Riesz

Théorème des fonctions implicites

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Calcul des projecteurs sur les sous-espaces caractéristiques d'un endomorphisme

Calculer l'exponentielle d'une matrice diagonalisable sans calculer la matrice de passage

Expression d'un polynôme symétrique en fonction des polynômes symétriques élémentaires

Le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique

Méthode de Gauss pour les formes quadratiques

Pseudo-réduction simultanée

Racine carrée d'une matrice symétrique réelle positive

Une famille d'endomorphismes diagonalisables qui commutent est codiagonalisable

Analyse

Ind est une fonction à valeurs entières, constante sur chaque composante connexe

L'espace de Schwartz sur est stable par transformée de Fourier

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L'espace de Schwartz sur ${\mathbb R}$ est stable par transformée de Fourier