Exos classiques et autres démonstrations

Algèbre

Calcul des projecteurs sur les sous-espaces caractéristiques d'un endomorphisme

On donne ici une méthode pour calculer les projecteurs sur les sous-espaces caractéristiques d'un endomorphismes, ainsi qu'une application au calcul de l'exponentielle matricielle par la décomposition de Dunford.

Calculer l'exponentielle d'une matrice diagonalisable sans calculer la matrice de passage

Soit $A\in {\mathcal {M}}_{n}({\mathbb {C}})$. soit $D=diag(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})$ telle que $A=Q^{{-1}}DQ$.

Soit $P$ un polynôme tel que $P(\lambda _{i})=e^{{\lambda _{i}}}$ pour tout $i$.

Alors $P(A)=P(Q^{{-1}}DQ)=Q^{{-1}}P(D)Q=Q^{{-1}}\exp(D)Q=\exp(A)$ !

Ref : perso.univ-rennes1.fr/tristan.vaccon/exponentielle_de_matrices.pdf‎

Expression d'un polynôme symétrique en fonction des polynômes symétriques élémentaires

Le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique

Méthode de Gauss pour les formes quadratiques

Pseudo-réduction simultanée

Racine carrée d'une matrice symétrique réelle positive

Une famille d'endomorphismes diagonalisables qui commutent est codiagonalisable

Analyse

Ind$_{\gamma }$ est une fonction à valeurs entières, constante sur chaque composante connexe

L'espace de Schwartz sur ${\mathbb R}$ est stable par transformée de Fourier

Lemme de Baire

Lemme de Riemann-Lebesgue

Limite uniforme de polynômes

Montrons que si une fonction $f$ est limite uniforme d'une suite de polynômes $(P_{n})_{{n\in {\mathbb N}}}$, alors $f$ est un polynôme.

$(P_{n})_{{n\in {\mathbb N}}}$ est une suite de Cauchy donc il existe $N\in {\mathbb N}$ tel que pour tout $n\geq N,\|P_{n}-P_{N}\|_{\infty }<1$. Or $P_{n}-P_{N}$ est un polynôme borné, donc est constant, on a $P_{n}-P_{N}=c_{n}\in {\mathbb C}$. Or $P_{n}-P_{N}$ converge vers $f-P_{N}$ donc $(c_{n})_{{n\in {\mathbb N}}}$ converge vers une constante $c=f-P_{N}$. D'où $f=P_{N}+c$ est un polynôme.

Référence : Xavier Gourdon, ${\emph {Analyse}}$, Ellipses, 1994, p.228.

Théorème de Cauchy-Peano

On prouve ici le théorème de Cauchy-Peano en utilisant le théorème de point fixe de Schauder et le théorème d'Ascoli.

Théorème d'inversion locale

Théorème de représentation de Riesz

Théorème des fonctions implicites