Version actuelle en date du 17 janvier 2015 à 20:43

Sommaire

1 Algèbre
2 Analyse

Algèbre

Calcul des projecteurs sur les sous-espaces caractéristiques d'un endomorphisme

On donne ici une méthode pour calculer les projecteurs sur les sous-espaces caractéristiques d'un endomorphismes, ainsi qu'une application au calcul de l'exponentielle matricielle par la décomposition de Dunford.

Calculer l'exponentielle d'une matrice diagonalisable sans calculer la matrice de passage

Soit $A\in {\mathcal {M}}_{n}({\mathbb {C}})$ . soit $D=diag(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})$ telle que $A=Q^{{-1}}DQ$ .

Soit $P$ un polynôme tel que $P(\lambda _{i})=e^{{\lambda _{i}}}$ pour tout $i$ .

Alors $P(A)=P(Q^{{-1}}DQ)=Q^{{-1}}P(D)Q=Q^{{-1}}\exp(D)Q=\exp(A)$ !

Ref : perso.univ-rennes1.fr/tristan.vaccon/exponentielle_de_matrices.pdf‎

Expression d'un polynôme symétrique en fonction des polynômes symétriques élémentaires

Le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique

Méthode de Gauss pour les formes quadratiques

Pseudo-réduction simultanée

Racine carrée d'une matrice symétrique réelle positive

Une famille d'endomorphismes diagonalisables qui commutent est codiagonalisable

Analyse

Ind $_{\gamma }$ est une fonction à valeurs entières, constante sur chaque composante connexe

L'espace de Schwartz sur ${\mathbb R}$ est stable par transformée de Fourier

Lemme de Baire

Lemme de Riemann-Lebesgue

Limite uniforme de polynômes

Montrons que si une fonction $f$ est limite uniforme d'une suite de polynômes $(P_{n})_{{n\in {\mathbb N}}}$ , alors $f$ est un polynôme.

$(P_{n})_{{n\in {\mathbb N}}}$ est une suite de Cauchy donc il existe $N\in {\mathbb N}$ tel que pour tout $n\geq N,\|P_{n}-P_{N}\|_{\infty }<1$ . Or $P_{n}-P_{N}$ est un polynôme borné, donc est constant, on a $P_{n}-P_{N}=c_{n}\in {\mathbb C}$ . Or $P_{n}-P_{N}$ converge vers $f-P_{N}$ donc $(c_{n})_{{n\in {\mathbb N}}}$ converge vers une constante $c=f-P_{N}$ . D'où $f=P_{N}+c$ est un polynôme.

Référence : Xavier Gourdon, Analyse, Ellipses, 1994, p.228.

Théorème d'Ascoli

Théorème d'inversion locale

Théorème de Cauchy-Peano

On prouve ici le théorème de Cauchy-Peano en utilisant le théorème de point fixe de Schauder et le théorème d'Ascoli.

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-= Calculer l'exponentielle d'une matrice diagonalisable sans calculer la matrice de passage =
+= Algèbre =
-Soit <math> A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) </math>...
+== Calcul des projecteurs sur les sous-espaces caractéristiques d'un endomorphisme ==
+On donne ici une méthode pour calculer les projecteurs sur les sous-espaces caractéristiques d'un endomorphismes, ainsi qu'une application au calcul de l'exponentielle matricielle par la décomposition de Dunford.
+[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:Projecteurs.pdf}}|24px]]
+[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link={{filepath:Projecteurs.tex}}|24px]]
+== Calculer l'exponentielle d'une matrice diagonalisable sans calculer la matrice de passage ==
+Soit <math>A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})</math>.
+soit <math>D=diag(\lambda_1,\dots,\lambda_n)</math> telle que <math>A=Q^{-1}DQ</math>.
+Soit <math>P</math> un polynôme tel que <math>P(\lambda_i) = e^{\lambda_i}</math> pour tout <math>i</math>.
+Alors <math>P(A) = P(Q^{-1}DQ) = Q^{-1}P(D)Q = Q^{-1}\exp(D)Q = \exp(A)</math> !
+Ref : perso.univ-rennes1.fr/tristan.vaccon/exponentielle_de_matrices.pdf‎
+== Expression d'un polynôme symétrique en fonction des polynômes symétriques élémentaires ==
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+[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link={{filepath:Polsymetriques.tex}}|24px]]
+== Le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique ==
+[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:Groupe_multiplicatif.pdf}}|24px]]
+[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link={{filepath:Groupe_multiplicatif.tex}}|24px]]
+== Méthode de Gauss pour les formes quadratiques ==
+[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:Méthode_de_Gauss.pdf}}|24px]]
+[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link={{filepath:Méthode_de_Gauss.tex}}|24px]]
+== Pseudo-réduction simultanée ==
+[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:Pseudored.pdf}}|24px]][[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link={{filepath:Pseudored.tex}}|24px]]
+== Racine carrée d'une matrice symétrique réelle positive ==
+[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:RacinecarreeSn.pdf}}|24px]]
+[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link={{filepath:RacinecarreeSn.tex}}|24px]]
+== Une famille d'endomorphismes diagonalisables qui commutent est codiagonalisable ==
+[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:Diagocommut.pdf}}|24px]]
+[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link={{filepath:Diagocommut.tex}}|24px]]
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+== Ind<math>_\gamma</math>  est une fonction à valeurs entières, constante sur chaque composante connexe ==
+[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:Indice.pdf}}|24px]]
+[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link={{filepath:Indice.tex}}|24px]]
+== L'espace de Schwartz sur <math>\mathbb R</math> est stable par transformée de Fourier ==
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+[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link={{filepath:Schwartzstable.tex}}|24px]]
+== Lemme de Baire ==
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+[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link={{filepath:Baire.tex}}|24px]]
+== Lemme de Riemann-Lebesgue ==
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+== Limite uniforme de polynômes ==
+Montrons que si une fonction <math>f</math> est limite uniforme d'une suite de polynômes <math>(P_n)_{n\in\mathbb N}</math>, alors <math>f</math> est un polynôme.
+<math>(P_n)_{n\in\mathbb N}</math> est une suite de Cauchy donc il existe <math>N\in\mathbb N</math> tel que pour tout <math>n\ge N,\|P_n-P_N\|_\infty<1</math>. Or <math>P_n-P_N</math> est un polynôme borné, donc est constant, on a <math>P_n-P_N=c_n\in\mathbb C</math>. Or <math>P_n-P_N</math> converge vers <math>f-P_N</math> donc <math>(c_n)_{n\in\mathbb N}</math> converge vers une constante <math>c=f-P_N</math>. D'où <math>f=P_N+c</math> est un polynôme.
+Référence : Xavier Gourdon, Analyse, Ellipses, 1994, p.228.
+== Théorème d'Ascoli ==
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+[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link={{filepath:Ascoli.tex}}|24px]]
+== Théorème d'inversion locale ==
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+[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link={{filepath:Inversion_locale.tex}}|24px]]
+== Théorème de Cauchy-Peano ==
+On prouve ici le théorème de Cauchy-Peano en utilisant le théorème de point fixe de Schauder et le théorème d'Ascoli.
+[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:Cauchy_Peano.pdf}}|24px]]
+[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link={{filepath:Cauchy_Peano.tex}}|24px]]
+== Théorème de représentation de Riesz ==
+[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:Repriesz.pdf}}|24px]]
+[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link={{filepath:Repriesz.tex}}|24px]]
+== Théorème des fonctions implicites ==
+[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:Fonctions_implicites.pdf}}|24px]]
+[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link={{filepath:Fonctions_implicites.tex}}|24px]]

Exos classiques et autres démonstrations : Différence entre versions

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