Exos classiques et autres démonstrations : Différence entre versions

De AgregmathKL
Aller à : navigation, rechercher
m (Remplacement de texte — « link=Média:(.*)\.tex » par « link={{filepath:$1.tex}} »)
 
(8 révisions intermédiaires par 2 utilisateurs non affichées)
Ligne 5 : Ligne 5 :
 
On donne ici une méthode pour calculer les projecteurs sur les sous-espaces caractéristiques d'un endomorphismes, ainsi qu'une application au calcul de l'exponentielle matricielle par la décomposition de Dunford.
 
On donne ici une méthode pour calculer les projecteurs sur les sous-espaces caractéristiques d'un endomorphismes, ainsi qu'une application au calcul de l'exponentielle matricielle par la décomposition de Dunford.
  
−
[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=Média:Projecteurs.pdf|24px]]  
+
[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:Projecteurs.pdf}}|24px]]  
−
[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link=Média:Projecteurs.tex|24px]]
+
[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link={{filepath:Projecteurs.tex}}|24px]]
  
 
== Calculer l'exponentielle d'une matrice diagonalisable sans calculer la matrice de passage ==
 
== Calculer l'exponentielle d'une matrice diagonalisable sans calculer la matrice de passage ==
Ligne 22 : Ligne 22 :
 
== Expression d'un polynôme symétrique en fonction des polynômes symétriques élémentaires ==
 
== Expression d'un polynôme symétrique en fonction des polynômes symétriques élémentaires ==
  
−
[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=Média:Polsymetriques.pdf|24px]]
+
[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:Polsymetriques.pdf}}|24px]]
−
[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link=Média:Polsymetriques.tex|24px]]
+
[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link={{filepath:Polsymetriques.tex}}|24px]]
 +
 
 +
== Le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique ==
 +
 
 +
[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:Groupe_multiplicatif.pdf}}|24px]]
 +
[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link={{filepath:Groupe_multiplicatif.tex}}|24px]]
 +
 
 +
== Méthode de Gauss pour les formes quadratiques ==
 +
 
 +
[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:Méthode_de_Gauss.pdf}}|24px]]
 +
[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link={{filepath:Méthode_de_Gauss.tex}}|24px]]
  
 
== Pseudo-réduction simultanée ==
 
== Pseudo-réduction simultanée ==
  
−
[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=Média:Pseudored.pdf|24px]][[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link=Média:Pseudored.tex|24px]]
+
[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:Pseudored.pdf}}|24px]][[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link={{filepath:Pseudored.tex}}|24px]]
  
 
== Racine carrée d'une matrice symétrique réelle positive ==
 
== Racine carrée d'une matrice symétrique réelle positive ==
  
−
[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=Média:RacinecarreeSn.pdf|24px]]
+
[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:RacinecarreeSn.pdf}}|24px]]
−
[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link=Média:RacinecarreeSn.tex|24px]]
+
[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link={{filepath:RacinecarreeSn.tex}}|24px]]
  
 
== Une famille d'endomorphismes diagonalisables qui commutent est codiagonalisable ==
 
== Une famille d'endomorphismes diagonalisables qui commutent est codiagonalisable ==
  
−
[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=Média:Diagocommut.pdf|24px]]
+
[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:Diagocommut.pdf}}|24px]]
−
[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link=Média:Diagocommut.tex|24px]]
+
[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link={{filepath:Diagocommut.tex}}|24px]]
  
 
= Analyse =
 
= Analyse =
 +
 +
== Ind<math>_\gamma</math>  est une fonction à valeurs entières, constante sur chaque composante connexe ==
 +
 +
[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:Indice.pdf}}|24px]]
 +
[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link={{filepath:Indice.tex}}|24px]]
 +
 +
== L'espace de Schwartz sur <math>\mathbb R</math> est stable par transformée de Fourier ==
 +
 +
[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:Schwartzstable.pdf}}|24px]]
 +
[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link={{filepath:Schwartzstable.tex}}|24px]]
  
 
== Lemme de Baire ==
 
== Lemme de Baire ==
  
−
[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=Média:Baire.pdf|24px]]
+
[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:Baire.pdf}}|24px]]
−
[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link=Média:Baire.tex|24px]]
+
[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link={{filepath:Baire.tex}}|24px]]
  
 
== Lemme de Riemann-Lebesgue ==
 
== Lemme de Riemann-Lebesgue ==
  
−
[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=Média:Riemann_Lebesgue.pdf|24px]]
+
[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:Riemann_Lebesgue.pdf}}|24px]]
−
[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link=Média:Riemann_Lebesgue.tex|24px]]
+
[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link={{filepath:Riemann_Lebesgue.tex}}|24px]]
  
−
== L'espace de Schwartz sur <math>\mathbb R</math> est stable par transformée de Fourier ==
+
== Limite uniforme de polynômes ==
  
−
[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=Média:Schwartzstable.pdf|24px]]
+
Montrons que si une fonction <math>f</math> est limite uniforme d'une suite de polynômes <math>(P_n)_{n\in\mathbb N}</math>, alors <math>f</math> est un polynôme.
−
[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link=Média:Schwartzstable.tex|24px]]
+
 
 +
<math>(P_n)_{n\in\mathbb N}</math> est une suite de Cauchy donc il existe <math>N\in\mathbb N</math> tel que pour tout <math>n\ge N,\|P_n-P_N\|_\infty<1</math>. Or <math>P_n-P_N</math> est un polynôme borné, donc est constant, on a <math>P_n-P_N=c_n\in\mathbb C</math>. Or <math>P_n-P_N</math> converge vers <math>f-P_N</math> donc <math>(c_n)_{n\in\mathbb N}</math> converge vers une constante <math>c=f-P_N</math>. D'où <math>f=P_N+c</math> est un polynôme.
 +
 
 +
 
 +
Référence : Xavier Gourdon, Analyse, Ellipses, 1994, p.228.
 +
 
 +
== Théorème d'Ascoli ==
 +
 
 +
[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:Ascoli.pdf}}|24px]]
 +
[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link={{filepath:Ascoli.tex}}|24px]]
  
 
== Théorème d'inversion locale ==
 
== Théorème d'inversion locale ==
  
−
[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=Média:Inversion_locale.pdf|24px]]
+
[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:Inversion_locale.pdf}}|24px]]
−
[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link=Média:Inversion_locale.tex|24px]]
+
[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link={{filepath:Inversion_locale.tex}}|24px]]
 +
 
 +
== Théorème de Cauchy-Peano ==
 +
 
 +
On prouve ici le théorème de Cauchy-Peano en utilisant le théorème de point fixe de Schauder et le théorème d'Ascoli.
 +
 
 +
[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:Cauchy_Peano.pdf}}|24px]]
 +
[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link={{filepath:Cauchy_Peano.tex}}|24px]]
  
 
== Théorème de représentation de Riesz ==
 
== Théorème de représentation de Riesz ==
  
−
[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=Média:Repriesz.pdf|24px]]
+
[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:Repriesz.pdf}}|24px]]
−
[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link=Média:Repriesz.tex|24px]]
+
[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link={{filepath:Repriesz.tex}}|24px]]
  
 
== Théorème des fonctions implicites ==
 
== Théorème des fonctions implicites ==
  
−
[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=Média:Fonctions_implicites.pdf|24px]]
+
[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link={{filepath:Fonctions_implicites.pdf}}|24px]]
−
[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link=Média:Fonctions_implicites.tex|24px]]
+
[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link={{filepath:Fonctions_implicites.tex}}|24px]]

Version actuelle en date du 17 janvier 2015 à 20:43

Algèbre

Calcul des projecteurs sur les sous-espaces caractéristiques d'un endomorphisme

On donne ici une méthode pour calculer les projecteurs sur les sous-espaces caractéristiques d'un endomorphismes, ainsi qu'une application au calcul de l'exponentielle matricielle par la décomposition de Dunford.

Pdf Tex

Calculer l'exponentielle d'une matrice diagonalisable sans calculer la matrice de passage

Soit A\in {\mathcal {M}}_{n}({\mathbb {C}}). soit D=diag(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}) telle que A=Q^{{-1}}DQ.

Soit P un polynôme tel que P(\lambda _{i})=e^{{\lambda _{i}}} pour tout i.

Alors P(A)=P(Q^{{-1}}DQ)=Q^{{-1}}P(D)Q=Q^{{-1}}\exp(D)Q=\exp(A) !


Ref : perso.univ-rennes1.fr/tristan.vaccon/exponentielle_de_matrices.pdf‎

Expression d'un polynôme symétrique en fonction des polynômes symétriques élémentaires

Pdf Tex

Le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique

Pdf Tex

Méthode de Gauss pour les formes quadratiques

Pdf Tex

Pseudo-réduction simultanée

PdfTex

Racine carrée d'une matrice symétrique réelle positive

Pdf Tex

Une famille d'endomorphismes diagonalisables qui commutent est codiagonalisable

Pdf Tex

Analyse

Ind_{\gamma } est une fonction à valeurs entières, constante sur chaque composante connexe

Pdf Tex

L'espace de Schwartz sur {\mathbb R} est stable par transformée de Fourier

Pdf Tex

Lemme de Baire

Pdf Tex

Lemme de Riemann-Lebesgue

Pdf Tex

Limite uniforme de polynômes

Montrons que si une fonction f est limite uniforme d'une suite de polynômes (P_{n})_{{n\in {\mathbb N}}}, alors f est un polynôme.

(P_{n})_{{n\in {\mathbb N}}} est une suite de Cauchy donc il existe N\in {\mathbb N} tel que pour tout n\geq N,\|P_{n}-P_{N}\|_{\infty }<1. Or P_{n}-P_{N} est un polynôme borné, donc est constant, on a P_{n}-P_{N}=c_{n}\in {\mathbb C}. Or P_{n}-P_{N} converge vers f-P_{N} donc (c_{n})_{{n\in {\mathbb N}}} converge vers une constante c=f-P_{N}. D'où f=P_{N}+c est un polynôme.


Référence : Xavier Gourdon, Analyse, Ellipses, 1994, p.228.

Théorème d'Ascoli

Pdf Tex

Théorème d'inversion locale

Pdf Tex

Théorème de Cauchy-Peano

On prouve ici le théorème de Cauchy-Peano en utilisant le théorème de point fixe de Schauder et le théorème d'Ascoli.

Pdf Tex

Théorème de représentation de Riesz

Pdf Tex

Théorème des fonctions implicites

Pdf Tex

Récupérée de « https://minerve.ens-rennes.fr/index.php?title=Exos_classiques_et_autres_démonstrations&oldid=2523 »